罗杰拿起粉笔在刷刷刷地开始书写：

解题：

设定变量与假设

设 k = \frac{a^2 + b^2}{ab+1}k=ab+1a2+b2，目标是证明 kk 为完全平方数。假设 k 不是完全平方数，并选取满足条件的正整数对 (a, b)(a,b) 使得 a + ba+b 最小（最小解原则）。

构造二次方程

将条件转化为方程：

a^2 - k b a + b^2 - k = 0.a2?kba+b2?k=0.

固定 bb，将其视为关于 aa 的二次方程。设 a_1a1 为一个解，则另一解 a_2a2 满足韦达定理：

a_1 + a_2 = k b, \quad a_1 a_2 = b^2 - k.a1+a2=kb,a1a2=b2?k.

由此可得 a_2 = k b - a_1a2=kb?a1，且 a_2a2 为整数。

最小解矛盾

若 a_2 = 0a2=0，代入方程得 k = b^2k=b2，与假设矛盾。

若 a_2 ＞ 0a2＞0，则 (a_2, b)(a2,b) 也是满足条件的解。由最小性假设，应有 a_2 \geq a_1a2≥a1，但通过韦达关系可推出 a_2 = \frac{b^2 - k}{a_1} ＜ a_1a2=a1b2?k＜a1，矛盾。

若 a_2 ＜ 0a2＜0，代入方程会导致 a_2^2 + b^2 ＞ 0a22+b2＞0，与方程成立矛盾。

结论：